薛定谔方程：$\mathrm{i}\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\hat{H}\mathrm{\Psi }$$\newcommand{\ii}{{\rm i}}\ii\hbar{\part \Psi\over \part t}=\hat H\Psi$，其中 $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V$$\hat H=-{\hbar^2\over 2m}{\part^2\over\part x^2}+V$。分离变量 $\mathrm{\Psi }(x,t)=\psi (x)\varphi (t)$$\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$，有定态薛定谔方程 $\hat{H}\psi =E\psi$$\hat H\psi=E\psi$，对应的 $\varphi (t)=\exp (-\mathrm{i}Et/\hslash )$$\phi(t)=\exp(-\ii E t/\hbar)$。

一维的薛定谔方程的性质：①${\psi }_1,{\psi }_2$$\psi_1,\psi_2$ 有相同的本征值，则 $\frac{\mathrm{d}{\psi }_1}{\mathrm{d}x}{\psi }_2-\frac{\mathrm{d}{\psi }_2}{\mathrm{d}x}{\psi }_1=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$\newcommand{\dd}{{\rm d}}{\dd \psi_1\over \dd x}\psi_2-{\dd \psi_2\over \dd x}\psi_1=\rm Const$。②最大简并度为2。③束缚态不兼简并。④束缚态可用实函数表示。⑤当 $V(x)=V(-x)$$V(x)=V(-x)$，束缚态有固定的宇称。

波函数总是连续，波函数的导数在势能有限处连续：$\frac{\partial \psi }{\partial x}{|}_{x-}^{x+}=\frac{2m}{{\hslash }^2}{\int }_{x-}^{x+}V(x)\psi (x)\mathrm{d}x$${\part \psi\over\part x}\big|^{x+}_{x-}={2m\over \hbar^2}\int_{x-}^{x+}V(x)\psi(x)\dd x$。概率流密度 $J(x,t)=\frac{\mathrm{i}\hslash }{2m}(\mathrm{\Psi }\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\ast }}{\partial x}-{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x})$$J(x,t)={\ii \hbar\over2m}(\Psi{\part\Psi^*\over\part x}-\Psi^*{\part\Psi\over\part x})$。

几种势的解：

无限深方势阱：$V(x)=\mathbf{If}(0\le x\le a,0,\mathrm{\infty })$$V(x)=\bold{If}(0\le x\le a,0,\infty)$。本征函数 ${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi }{a}x\right)$$\psi_n(x)=\sqrt{2\over a}\sin\left({n\pi\over a}x\right)$，本征能量 $E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$$E_n={n^2\pi^2\hbar^2\over 2ma^2}$。

谐振子势：$V(x)=m{\omega }^2{x}^2/2$$V(x)=m\omega^2x^2/2$。本征能量 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega ,n=0,1,...$$E_n=(n+{1\over 2})\hbar\omega,n=0,1,...$，对应的本征态为 $E={\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}{H}_n(\xi )e^{-{\xi }^2/2}$$E=\left({m\omega\over\pi\hbar}\right)^{1/4}{1\over \sqrt{2^nn!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}$，其中 $\xi =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x$$\xi=\sqrt{m\omega\over\hbar}x$。升降算符 ${\hat{a}}_{\pm }=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega }}(\mp \mathrm{i}\hat{p}+m\omega x)$$\hat a_\pm={1\over \sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp\ii\hat p+m\omega x)$。$\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}_{-}{\hat{a}}_{+}-\frac{1}{2})=\hslash \omega ({\hat{a}}_{+}{\hat{a}}_{-}+\frac{1}{2})$$\hat H=\hbar\omega(\hat a_-\hat a_+-{1\over 2})=\hbar\omega(\hat a_+\hat a_-+{1\over 2})$。${\hat{a}}_{+}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩,{\hat{a}}_{-}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$$\hat a_+\ket n=\sqrt{n+1}\ket {n+1},\hat a_-\ket n=\sqrt{n}\ket{n-1}$。

自由粒子：动量本征矢 ${\psi }_p=⟨x|p⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{\mathrm{i}px/\hslash }$$\psi_p=\braket{x|p}={1\over \sqrt{2\pi\hbar}}e^{\ii px/\hbar}$，归一化 $⟨p^{\prime }|p⟩=\delta (p-p^{\prime })$$\braket{p'|p}=\delta({p-p'})$。对应的 $\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\int c(p)e^{\mathrm{i}px/\hslash }\mathrm{d}p$$\psi(x)={1\over \sqrt{2\pi\hbar}}\int c(p)e^{\ii px/\hbar}\dd p$。反傅里叶变换 $c(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\int \psi (x)e^{-\mathrm{i}px/\hslash }\mathrm{d}x$$c(p)={1\over \sqrt{2\pi\hbar}}\int \psi(x)e^{-\ii px/\hbar}\dd x$。

δ势阱：$V(x)=-\alpha \delta (x)$$V(x)=-\alpha\delta(x)$。束缚态：$\psi (x)=\frac{\sqrt{m\alpha }}{\hslash }\exp (-m\alpha |x|/{\hslash }^2)$$\psi(x)={\sqrt{m\alpha}\over \hbar}\exp(-m\alpha|x|/\hbar^2)$，对应本征能量为 $E=-\frac{m{\alpha }^2}{2{\hslash }^2}$$E=-{m\alpha^2\over 2\hbar^2}$。散射态：$\psi (x)=\mathbf{If}(x<0,A{e}^{\mathrm{i}kx}+B{e}^{-\mathrm{i}kx},F{e}^{\mathrm{i}kx})$$\psi(x)=\bold{If}(x<0,Ae^{\ii kx}+Be^{-\ii kx},Fe^{\ii kx})$，其中 $B=\frac{\mathrm{i}\beta }{1-\mathrm{i}\beta }A,F=\frac{1}{1-\mathrm{i}\beta }$$B={\ii \beta\over 1-\ii\beta}A,F={1\over1-\ii \beta}$，其中 $\beta =\frac{m\alpha }{{\hslash }^{2}k}$$\beta={m\alpha\over \hbar^2k}$。$R=|B{|}^2/|A{|}^2,T=|F{|}^2/|A{|}^2$$R=|B|^2/|A|^2,T=|F|^2/|A|^2$。（对于两边的势能不同的，利用 $J\propto |A{|}^{2}k\propto |A{|}^2\sqrt{E-V}$$J\propto |A|^2k\propto |A|^2\sqrt{E-V}$ 可求得 $R$$R$ 和 $T$$T$。

形式理论：在基矢 $|i⟩,i=1,2,...$$\ket i,i=1,2,...$ 下，单位算符写作 $\sum |i⟩⟨i|$$\sum\ket i\bra i$。态矢 $|\psi ⟩$$\ket \psi$ 在其中的分解为 $\sum |i⟩⟨i|\psi ⟩=\sum {\psi }_i|i⟩$$\sum\ket i\braket{i|\psi}=\sum \psi_i\ket i$。算符 $\hat{A}$$\hat A$ 在其中的分解为 $\hat{A}=\sum \sum |i⟩⟨i|\hat{A}|j⟩⟨j|=\sum \sum |i⟩A_{ij}⟨j|$$\hat A=\sum\sum \ket i\bra i \hat A\ket j\bra j=\sum\sum \ket i A_{ij}\bra j$。算符的期望值 $⟨\hat{A}⟩=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩$$\braket \hat A=\bra \psi \hat A\ket \psi$。

从基矢 $|i⟩$$\ket i$ 变换到 $|j^{\prime }⟩$$\ket{j'}$，有 $|j^{\prime }⟩=\sum |i⟩⟨i|j^{\prime }⟩=\sum S_{ji}^{†}|i⟩$$\ket{j'}=\sum \ket i\braket{i|j'}=\sum S_{ji}^\dagger\ket i$，其中 $S_{ji}=⟨j^{\prime }|i⟩$$S_{ji}=\braket{j'|i}$。则有算符 $\hat{A}$$\hat A$ 在 $|j^{\prime }⟩$$\ket{j'}$ 下的分量 $A_{ij}^{\prime }=⟨i^{\prime }|\hat{A}|j^{\prime }⟩$$A'_{ij}=\bra {i'}\hat A\ket {j'}$$=\sum \sum ⟨i^{\prime }|k⟩⟨k|\hat{A}|l⟩⟨l|j^{\prime }⟩$$=\sum\sum \braket {i'|k}\bra k\hat A\ket l\braket {l|j'}$$=S_{ik}{A}_{kl}{S}_{lj}^{†}$$=S_{ik}A_{kl}S_{lj}^\dagger$。在位置基下，$\hat{x}=x,\hat{p}=-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial x}$$\hat x=x,\hat p=-\ii \hbar{\part \over \part x}$；在动量基下，$\hat{x}=\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial p},\hat{p}=p$$\hat x=\ii \hbar{\part\over\part p},\hat p=p$。

海森堡运动方程：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{F}⟩=⟨\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}⟩+\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }⟨[\hat{F},\hat{H}]⟩$${\dd \over \dd t}\braket \hat F=\braket{{\part \hat F\over \part t}}+{1\over \ii \hbar}\braket{[\hat F,\hat H]}$。

不确定性原理：${\sigma }_A^2{\sigma }_B^2\ge {\left(\frac{1}{2\mathrm{i}}⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩\right)}^2$$\sigma_{A}^2\sigma_{B}^2\ge \left( {1\over 2 \ii}\braket{[\hat A,\hat B]} \right)^2$。其中 ${\sigma }_A^2=⟨{\hat{A}}^2⟩-{⟨\hat{A}⟩}^2$$\sigma_A^2=\braket{\hat A^2}-\braket{\hat A}^2$。证明：${\sigma }_A^2=⟨\psi |(\hat{A}-⟨\hat{A}⟩{)}^2|\psi ⟩$$\sigma_A^2=\braket{\psi|(\hat A-\braket{\hat A})^2|\psi}$，令 ${\sigma }_A^2=⟨f|f⟩,{\sigma }_B^2=⟨g|g⟩$$\sigma_A^2=\braket{f|f},\sigma_B^2=\braket{g|g}$，则 $\sim \ge {⟨f|g⟩}^2=(\mathrm{\Re }⟨f|g⟩{)}^2+(\mathrm{\Im }⟨f|g⟩{)}^2$$\sim\ge\braket{f|g}^2=(\Re\braket{f|g})^2+(\Im\braket{f|g})^2$$\ge (\mathrm{\Im }⟨f|g⟩{)}^2={(\frac{1}{2\mathrm{i}}(⟨f|g⟩-⟨g|f⟩))}^2$$\ge(\Im\braket{f|g})^2=\left({1\over 2 \ii}(\braket{f|g}-\braket{g|f}) \right)^2$$={\left(\frac{1}{2\mathrm{i}}⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩\right)}^2$$=\left( {1\over 2 \ii}\braket{[\hat A,\hat B]} \right)^2$。其中等式满足的条件为 $|g⟩=\mathrm{i}a|f⟩,a\in \mathbb{R}$$\ket g=\ii a\ket f,a\in\R$。能量时间的不确定关系为 ${\sigma }_H\mathrm{\Delta }t\ge \frac{\hslash }{2}$$\sigma_{H}\Delta t\ge{\hbar\over 2}$，其中 $\mathrm{\Delta }t={\sigma }_Q/\left|\frac{\mathrm{d}⟨Q⟩}{\mathrm{d}t}\right|$$\Delta t=\sigma_Q\big/\left| {\dd\braket Q \over \dd t} \right|$，$Q$$Q$ 为任意不含时算符。

三维薛定谔方程：球坐标中：$-\frac{{\hslash }^2}{2m}[\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}{r}^2\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]\psi +V\psi =E\psi$$-{\hbar^2\over 2m}\left[ {1\over r^2}{\part\over \part r}r^2{\part \over\part r}+{1\over r^2\sin\theta}{\part\over\part \theta}\sin\theta{\part\over\part \theta}+{1\over r^2\sin^2\theta}{\part^2\over\part \phi^2} \right]\psi+V\psi=E\psi$。对应：${\hat{L}}_z=-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi },$$\hat L_z=-\ii \hbar{\part \over\part \phi},$${\hat{L}}_x=\mathrm{i}\hslash (\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi }),$$\hat L_x=\ii\hbar(\sin\phi{\part\over\part\theta}+\cot\theta\cos\phi{\part\over\part\phi}),$${\hat{L}}_y=-\mathrm{i}\hslash (\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \varphi })$$\hat L_y=-\ii \hbar(\cos\phi{\part\over\part\theta}+\cot\theta\sin\phi{\part\over\part\phi})$。${\hat{L}}^2=-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]$$\hat L^2=-\hbar^2\left[ {1\over\sin \theta}{\part\over\part\theta}(\sin\theta{\part\over\part\theta})+{1\over\sin^2\theta}{\part^2\over\part\phi^2} \right]$。

分离变量 $\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y(\theta ,\varphi )$$\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$$=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi )$$=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$。角向：$\mathrm{\Phi }(\varphi )=e^{\mathrm{i}m\varphi },{\hat{L}}_z\mathrm{\Phi }(\varphi )=m\hslash$$\Phi(\phi)=e^{\ii m\phi},\hat L_z\Phi(\phi)=m\hbar$。$Y_l^m(\theta ,\varphi )=A{P}_l^m(\cos \theta )e^{\mathrm{i}m\varphi },$$Y_l^m(\theta,\phi)=AP_l^m(\cos\theta)e^{\ii m\phi},$ ${\hat{L}}^2{Y}_l^m={\hslash }^{2}l(l+1)$$\hat L^2Y_l^m=\hbar^2l(l+1)$。其中 $m=-l,-l+1,...,l-1,l$$m=-l,-l+1,...,l-1,l$，$P_l^m$$P_l^m$ 为连带勒让德多项式（$P_l^m=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}^m{P}_l,$$P^m_l=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}({\dd\over \dd x})^mP_l,$$P_l=\frac{1}{2^{l}l!}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}^l(x^2-1{)}^l$$P_l={1\over 2^ll!}({\dd \over \dd x})^l(x^2-1)^l$）。$l$$l$ 决定宇称。归一化常数 $A=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$$A=\sqrt{{2l+1\over4\pi}{(l-m)!\over(l+m)!}}$，满足 $\int |Y_l^m|\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=1$$\int |Y_l^m|\dd \Omega=1$。

径向：取 $u=rR(r)$$u=rR(r)$，有 $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{r}^2}+[V+\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}]u=Eu$$-{\hbar^2\over 2m}{\dd^2 u\over \dd r^2}+\left[ V+{\hbar^2\over 2m}{l(l+1)\over r^2} \right]u=Eu$。满足 $\int |u{|}^2\mathrm{d}r=1$$\int |u|^2\dd r=1$。

氢原子：取 $V(r)=-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}$$V(r)=-{e^2\over 4\pi \epsilon_0 r}$，则有 $R_{nl}=\frac{1}{r}{\rho }^{l+1}{e}^{-\rho }v(\rho )$$R_{nl}={1\over r}\rho^{l+1}e^{-\rho}v(\rho)$，其中 $\rho =\sqrt{-2mE}r/\hslash$$\rho=\sqrt{-2mE}r/\hbar$，$v(\rho )$$v(\rho)$ 是多项式。$E_n=-\frac{m}{2{\hslash }^2}{\left(\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0}\right)}^2\frac{1}{n^2}$$E_n=-{m\over 2\hbar^2}\left( e^2\over 4\pi\epsilon_0 \right)^2{1\over n^2}$。$n>l$$n>l$。

角动量：$[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]=\mathrm{i}\hslash {\hat{L}}_z$$[\hat L_x,\hat L_y]=\ii\hbar\hat L_z$。${\hat{L}}_{+}={\hat{L}}_x+\mathrm{i}{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_{-}={\hat{L}}_x-\mathrm{i}{\hat{L}}_y$$\hat L_+=\hat L_x+\ii \hat L_y,\hat L_-=\hat L_x-\ii \hat L_y$。$[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_{\pm }]=\pm \hslash {\hat{L}}_{\pm }$$[\hat L_z,\hat L_\pm]=\pm\hbar\hat L_\pm$。归一化：${\hat{L}}_{+}|l,m⟩=\sqrt{{\hslash }^2[l(l+1)-m(m+1)]}|l,m+1⟩,$$\hat L_+\ket{l,m}=\sqrt{\hbar^2[l(l+1)-m(m+1)]}\ket{l,m+1},$ ${\hat{L}}_{-}|l,m⟩=\sqrt{{\hslash }^2[l(l+1)-m(m-1)]}|l,m-1⟩$$\hat L_-\ket{l,m}=\sqrt{\hbar^2[l(l+1)-m(m-1)]}\ket{l,m-1}$。

参考式：

$\int \exp (-A{x}^2)\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{A}}$$\int \exp(-Ax^2)\dd x=\sqrt{\pi\over A}$。

勒让德多项式：$P_0=1,P_1=x,P_2=\frac{1}{2}(3x^2-1),$$P_0=1,~~P_1=x,~~P_2={1\over 2}(3x^2-1),$$P_3=\frac{1}{2}(5x^3-3x),$$~~P_3={1\over 2}(5x^3-3x),~~$$P_4=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3),$$P_4={1\over 8}(35x^4-30x^2+3),~~$$P_5=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$$P_5={1\over 8}(63x^5-70x^3+15x)$。

连带勒让德：$P_0^0=1,$$P^0_0=1,~~$$P_1^1=-\sin \theta ,$$P_1^1=-\sin\theta,~~$$P_1^0=\cos \theta ,$$P_1^0=\cos\theta,~~$$P_2^2=3{\sin }^2\theta ,$$P^2_2=3\sin^2\theta,~~$$P_2^1=-3\sin \theta \cos \theta ,$$P^1_2=-3\sin\theta\cos\theta,~~$$P_2^0=\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1),$$P_2^0={1\over 2}(3\cos^2\theta-1),~~$$P_3^3=-15\sin \theta (1-{\cos }^2\theta ),$$P^3_3=-15\sin\theta(1-\cos^2\theta),~~$$P_3^2=15{\sin }^2\theta \cos \theta ,$$P^2_3=15\sin^2\theta\cos\theta,~~$$P_3^1=-\frac{3}{2}\sin \theta (5{\cos }^2\theta -1),$$P_3^1=-{3\over 2}\sin\theta(5\cos^2\theta-1),~~$$P_3^0=\frac{1}{2}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )$$P^0_3={1\over 2}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)$。

厄密多项式：$H_0=1,$$H_0=1,~~$$H_1=2\xi ,$$H_1=2\xi,~~$$H_2=4{\xi }^2-2,$$H_2=4\xi^2-2,~~$$H_3=8{\xi }^3-12\xi ,$$H_3=8\xi^3-12\xi,~~$$H_4=16{\xi }^4-48{\xi }^2+12,$$H_4=16\xi^4-48\xi^2+12,~~$$H_5=32{\xi }^5-160{\xi }^3+120\xi$$H_5=32\xi^5-160\xi^3+120\xi$。